„Integralrechnung“ – Versionsunterschied
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[[Datei:Sir Isaac Newton by Sir Godfrey Kneller, Bt.jpg|mini|Sir [[Isaac Newton]]]]
Flächenberechnungen werden seit der [[Antike]] untersucht. Im 5. Jahrhundert vor Christus entwickelte [[Eudoxos von Knidos]] nach einer Idee von [[Antiphon (Sophist)|Antiphon]] die [[Exhaustionsmethode]], die darin
Diese Methode wurde auch im Mittelalter benutzt. Im 17. Jahrhundert stellte [[Bonaventura Francesco Cavalieri]] das [[Prinzip von Cavalieri]] auf, wonach zwei Körper das gleiche Volumen haben, wenn alle parallelen ebenen
Ende des 17. Jahrhunderts gelang es [[Isaac Newton]] und [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] unabhängig voneinander, Kalküle zur Differentialrechnung zu entwickeln und so den [[Fundamentalsatz der Analysis]] zu entdecken (zur Entdeckungsgeschichte und zum Prioritätsstreit siehe den Artikel [[Infinitesimalrechnung]]; zum Integralzeichen und dessen Geschichte siehe [[Integralzeichen]]). Ihre Arbeiten erlaubten das Abstrahieren von rein geometrischer Vorstellung und werden deshalb als Beginn der Analysis betrachtet. Bekannt wurden sie vor allem durch das Buch des Adligen [[Guillaume François Antoine, Marquis de L’Hospital]], der bei [[Johann I Bernoulli]] Privatunterricht nahm und darin dessen Forschung zur Analysis
Im 19. Jahrhundert wurde die gesamte Analysis auf ein solideres Fundament gestellt. 1823 entwickelte [[Augustin-Louis Cauchy]] erstmals einen Integralbegriff, der den heutigen Ansprüchen an [[
== Integral für kompakte Intervalle ==
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=== Herkunft der Notation ===
Die symbolische Schreibweise von Integralen geht auf den Miterstbeschreiber der Differential- und Integralrechnung, [[Gottfried Wilhelm Leibniz]], zurück. Das [[Integralzeichen]] '''∫''' ist aus dem Buchstaben [[langes s]] (ſ) für lateinisch ''summa'' abgeleitet. Die multiplikativ zu lesende Notation <math>f(x)\
=== Alternative Schreibweise in der Physik ===
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== Anwendungen ==
===
Es soll der „mittlere Wert“ <math>m</math> ermittelt werden, den eine auf einem Intervall definierte Funktion <math>f</math> annimmt. Da <math>f</math> im Allgemeinen unendlich viele verschiedene Werte annimmt, wird man diesen mittleren Wert dadurch annähern, dass man <math>f</math> zunächst nur an endlich vielen Stellen <math>\{x_1, x_2, \dots, x_n\}</math> auswertet, die gleichmäßig über <math>[a,b]</math> verteilt sind, und dann das [[Arithmetisches Mittel|arithmetische Mittel]]
:<math>m=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \mathrm{d}x.</math>▼
Da diese [[Definition]] für [[Treppenfunktion (reelle Funktion)|Treppenfunktionen]] mit dem üblichen Mittelwertbegriff übereinstimmt, ist diese Verallgemeinerung sinnvoll.▼
:<math>\frac{f(x_1)+ \cdots + f(x_n)}{n}</math>
bildet. Mit <math>\Delta x=(b-a)/n</math> erhält man somit als Annäherung für den mittleren Wert von <math>f</math>
=== Beispiel für den Integralbegriff in der Physik ===▼
:<math>m \approx \frac{1}{b-a} \sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x</math>.
Die Approximation wird umso genauer, je größer die Anzahl der Stellen <math>n</math> ist, die in diese Summe einfließen. Für <math>n \rightarrow \infty</math> erhält man schließlich als genaue Formel für den Mittelwert der Funktion
:<math>m=\lim_{n \to\infty} \left(\frac{1}{b-a}\sum_{k=1}^n f(x_k) \Delta x\right).</math>
Existiert der Grenzwert auf der rechten Seite, so handelt es sich um das Integral der Funktion über <math>[a,b].</math> Deshalb ist der Mittelwert einer Funktion definiert als
▲:<math>m=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x.</math>
▲
<!-- Größen nur fett schreiben, wenn sie als Vektoren behandelt werden-->
Ein physikalisches [[Phänomen]], an dem der Integralbegriff erklärt werden kann, ist der [[Freier Fall|freie Fall]] eines [[Körper (Physik)|Körpers]] im [[Schwerefeld]] der [[Erde]]
: <math>v = g \cdot t</math>
beschrieben. Dabei ist <math>g</math> die konstante [[Erdbeschleunigung]], die in [[Mitteleuropa]] ca. 9,81 m/s² beträgt.
Nun soll aber die Wegstrecke <math>l</math> berechnet werden, die der fallende Körper
Die gesamte Wegstrecke erhält man näherungsweise als Summe aller Teilstrecken:
: <math>\Delta l = g \cdot t\,\cdot\Delta t</math>.▼
▲: <math>l = \sum \left(g \cdot t \,\cdot\Delta t \right)</math>
▲ausdrücken. Wenn man nun die Zeitdifferenz <math>\Delta t</math> gegen Null streben lässt, erhält man
Die rechte Seite der Gleichung ist gerade das Integral über <math>g \cdot t</math>. Also ist die Wegstrecke das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit:
:
Das Integral lässt sich
:<math>l =\, \frac g 2 \cdot T^2.</math>
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Die allgemeine Lösung führt zur [[Bewegungsgleichung]] des im konstanten Schwerefeld fallenden Körpers:
: <math>l = \frac g 2 \cdot t^2.</math>
Weitere
* Die [[Energie]] ist das Integral der [[Leistung (Physik)|Leistung]] über die Zeit.
* Die [[elektrische Ladung]] eines [[Kondensator (Elektrotechnik)|Kondensators]] ist das Integral des durch ihn fließenden [[Elektrischer Strom|Stromes]] über die Zeit.
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Beim Stieltjes-Integral geht man von monotonen Funktionen <math>g</math> aus, oder von solchen mit [[Beschränkte Variation|endlicher Variation]], das sind Differenzen von zwei monotonen Funktionen, und definiert für stetige Funktionen <math>f</math> Riemann-Stieltjes’sche Summen als
:<math>\sum_{i=0}^{n-1}\,f(x_i)\,\
Durch Limesbildung in der üblichen Weise erhält man dann das sogenannte ''Riemann-Stieltjes-Integral'' <math>\textstyle \int_I\, f\, \mathrm dg</math>.
Solche Integrale sind auch dann definiert, wenn die Funktion <math>g</math> nicht differenzierbar ist (andernfalls gilt <math>\mathrm dg(x) = g'(x)\,\mathrm dx</math>). Ein bekanntes Gegenbeispiel ist die sogenannte [[Heaviside-Funktion]] <math>\Theta</math>, deren Wert gleich null für negative Argumente, eins für positive Argumente und z. B. <math>\textstyle \frac{1}{2}</math> an der Stelle <math>0</math> ist. Man schreibt, für <math>g=\Theta</math>, <math>\mathrm dg(x) = \delta(x)\mathrm dx</math> und erhält so die [[Distribution (Mathematik)|„verallgemeinerte Funktion“]] <math>\delta</math>, das sogenannte [[Diracmaß]], als ein nur im Punkt <math>0</math> definiertes Maß.
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[[Datei:LebesgueH.gif|mini|hochkant|[[Henri Lebesgue]] (1875–1941)]]
Einen moderneren und – in vielerlei Hinsicht – besseren Integralbegriff als den des Riemann’schen Integrals liefert das Lebesgue-Integral. Es erlaubt zum Beispiel die Integration über allgemeine [[Maßraum|Maßräume]]. Das bedeutet, dass man Mengen ein [[Maß (Mathematik)|Maß]] zuordnen kann, das nicht notwendig mit ihrer geometrischen Länge bzw. ihrem Rauminhalt übereinstimmen muss, so zum Beispiel [[Wahrscheinlichkeitsmaß]]e in der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]]. Das Maß, das dem intuitiven Längen- bzw. Volumenbegriff entspricht, ist das [[Lebesgue-Maß]]. In der Regel wird das Integral über dieses Maß als ''Lebesgue-Integral'' bezeichnet.
In der modernen Mathematik versteht man unter Integral oder Integrationstheorie häufig den lebesgueschen Integralbegriff.
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* [http://www.integralrechner.de/ Integralrechner – Deutsche Seite zur Berechnung von bestimmten sowie unbestimmten Integralen (Stammfunktionen)]
* [http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=844 Teil 1 einer dreiteiligen Serie über Mehrfachintegrale (detailliert+umfangreich)]
* [http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1105 50 Stammfunktionsbeispiele von Funktionen]
* {{TIBAV |9752 |Linktext=Integral, Stammfunktion |Herausgeber=Loviscach |Jahr=2010 |DOI=10.5446/9752}}
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