„Integralrechnung“ – Versionsunterschied

*Das ''unbestimmte Integral'' einer Funktion <math>f</math> ist eine Funktion <math>F</math> , deren erste [[Differentialrechnung#Ableitungsfunktion|Ableitung]] gerade die ursprüngliche Funktion <math>f</math> ist. <math>F</math> wird als [[Stammfunktion]] der Funktion <math>f</math> bezeichnet. Addiert oder subtrahiert man zu <math>F</math> eine beliebige Zahl, erhält man wieder eine Stammfunktion von <math>f</math>. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gibt Auskunft darüber, wie mithilfe von unbestimmten Integralen bestimmte Integrale berechnet werden können.

Flächenberechnungen werden seit der [[Antike]] untersucht. Im 5.&nbsp;Jahrhundert vor Christus entwickelte [[Eudoxos von Knidos]] nach einer Idee von [[Antiphon (Sophist)|Antiphon]] die [[Exhaustionsmethode]], die darin bestandbesteht, Verhältnisse von Flächeninhalten mittels enthaltener oder überdeckender [[Polygon]]e abzuschätzen. Er konnte durch diese Methode sowohl Flächeninhalte als auch Volumina einiger einfacher Körper bestimmen. [[Archimedes]] (287–212 v.&nbsp;Chr.) verbesserte diesen Ansatz, und so gelang ihm die exakte Bestimmung des Flächeninhalts einer von einem [[Parabel (Mathematik)|Parabelbogen]] und einer [[Sekante]] begrenzten Fläche ohne Rückgriff auf den [[Grenzwert (Funktion)|Grenzwertbegriff]], der damals noch nicht vorhanden war; dieses Ergebnis lässt sich leicht in das heute bekannte Integral einer quadratischen Funktion umformen. Zudem schätzte er das Verhältnis vonvom KreisumfangUmfang eines Kreises zu dessen Durchmesser, also die [[Kreiszahl]] [[Kreiszahl|<math>\pi</math>]], als Wert zwischen <math>\textstyle{3\frac{10}{71}}</math> und <math>\textstyle{3\frac{10}{70}}</math> ab.

Diese Methode wurde auch im Mittelalter benutzt. Im 17.&nbsp;Jahrhundert stellte [[Bonaventura Francesco Cavalieri]] das [[Prinzip von Cavalieri]] auf, wonach zwei Körper das gleiche Volumen haben, wenn alle parallelen ebenen SchnitteSchnittflächen den gleichen Flächeninhalt haben. [[Johannes Kepler]] benutzte in seinem Werk ''Astronomia Nova'' (1609) bei der Berechnung der Marsbahn Methoden, die heute als numerische Integration bezeichnet würden. Er versuchte ab 1612, den Rauminhalt von Weinfässern zu berechnen. 1615 veröffentlichte er die ''Stereometria Doliorum Vinariorum'' („[[Stereometrie]] der Weinfässer“), später auch als [[keplersche Fassregel]] bekannt.

Ende des 17.&nbsp;Jahrhunderts gelang es [[Isaac Newton]] und [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] unabhängig voneinander, Kalküle zur Differentialrechnung zu entwickeln und so den [[Fundamentalsatz der Analysis]] zu entdecken (zur Entdeckungsgeschichte und zum Prioritätsstreit siehe den Artikel [[Infinitesimalrechnung]]; zum Integralzeichen und dessen Geschichte siehe [[Integralzeichen]]). Ihre Arbeiten erlaubten das Abstrahieren von rein geometrischer Vorstellung und werden deshalb als Beginn der Analysis betrachtet. Bekannt wurden sie vor allem durch das Buch des Adligen [[Guillaume François Antoine, Marquis de L’Hospital]], der bei [[Johann I Bernoulli]] Privatunterricht nahm und darin dessen Forschung zur Analysis so publizierte. Der Begriff ''Integral'' geht auf Johann Bernoulli zurück.

Im 19.&nbsp;Jahrhundert wurde die gesamte Analysis auf ein solideres Fundament gestellt. 1823 entwickelte [[Augustin-Louis Cauchy]] erstmals einen Integralbegriff, der den heutigen Ansprüchen an [[Stringenzmathematische Strenge]] genügt. Später entstanden die Begriffe des [[Riemann-Integral]]s und des [[Lebesgue-Integral]]s. Schließlich folgte die Entwicklung der [[Maßtheorie]] Anfang des 20.&nbsp;Jahrhunderts.

„Kompakt“ bedeutet hier [[Beschränkte Menge|beschränkt]] und [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]], es werden also nur Funktionen auf [[Intervall (Mathematik)|Intervallen]] der Form <math>[a,b]</math> betrachtet. Offene oder [[BeschränktheitOffene Menge|unbeschränkteOffene]] oder unbeschränkte Intervalle sind nicht zugelassen.

* Der Bestandteil „<math>\mathrm dx</math>“ wird ''[[Differential (Mathematik)|Differential]]'' genannt, hat aber in diesem Kontext meist nur symbolische Bedeutung. Daher wird hier nicht versucht, ihn zu definieren. Am Differential liest man die Integrationsvariable ab.

Die symbolische Schreibweise von Integralen geht auf den Miterstbeschreiber der Differential- und Integralrechnung, [[Gottfried Wilhelm Leibniz]], zurück. Das [[Integralzeichen]] '''∫''' ist aus dem Buchstaben [[langes s]] (ſ) für lateinisch ''summa'' abgeleitet. Die multiplikativ zu lesende Notation <math>f(x)\;,\mathrm{d}x</math> deutet an, wie sich das Integral –&nbsp;dem Riemann-Integral folgend&nbsp;– aus Streifen der Höhe <math>f(x)</math> und der [[Infinitesimalzahl|infinitesimalen]] Breite <math>\mathrm{d}x</math> zusammensetzt.

* Oft tauchen in der Physik Integrale auf, bei denen die zu integrierende Funktion mehrere Zeilen lang ist, oder es wird über mehrere Unbekannte <math>x_1, x_2, \dotsc, x_n</math> integriert. Dann weiß man bei der Schreibweise <math>\textstyle \int_a^b \mathrm dx f(x)</math> schon zu Beginn des Integrals, welche Variablen überhaupt und über welche Grenzen integriert werden. Ferner ist dann die Zuweisung von Variablen zu Grenzen einfacher.

* Integrale von Treppenfunktionen: Ist <math>f</math> eine [[Treppenfunktion (reelle Funktion)|Treppenfunktion]], das heißt, ist <math>[a,b]</math> eine [[disjunkte Vereinigung]] von Intervallen <math>I_k</math> der Längen <math>L_k</math>, sodass <math>f</math> auf <math>I_k</math> konstant mit Wert <math>c_k</math> ist, so gilt:

:: <math>\int_a^bf(x)\,\mathrm dx=\sum_{k=1}^n L_k\cdot c_k,.</math>

: alsoDas anschaulichIntegral ist somit gleich der Summe der orientierten Flächeninhalte der Rechtecke zwischen dem Funktionsgraphen von <math>f</math> und der <math>x</math>-Achse.

Die bloße ''Existenz'' ist theoretisch gesichert: Die '''''Integralfunktion'''''

=== MittelwerteMittelwert stetigereiner FunktionenFunktion ===

Ein physikalisches [[Phänomen]], an dem der Integralbegriff erklärt werden kann, ist der [[Freier Fall|freie Fall]] eines [[Körper (Physik)|Körpers]] im [[Schwerefeld]] der [[Erde]]. Die [[Beschleunigung]] <math>g</math> des [[Freier Fall|freien Falls]] in [[Mitteleuropa]] beträgt ca. 9,81&nbsp;m/s². Die [[Geschwindigkeit]] <math>v</math> eines Körpers zur Zeit <math>t</math> lässt sich daherwird durch die Formel

Nun soll aber die Wegstrecke <math>l</math> berechnet werden, die der fallende Körper innerhalbbis zu einer bestimmten Zeit <math>T</math> zurücklegt. DasDie ProblemFormel hierbei<math>l = v \cdot T</math> („Weg = Geschwindigkeit × Zeit“) ist, dassnur bei einer konstanten Geschwindigkeit gültig''.'' Unter dem Einfluss der Erdbeschleunigung nimmt die Geschwindigkeit <math>v</math> des Körpers jedoch stetig mit der Zeit zunimmtzu. Um das Problem zu lösen, nimmtzerlegt man an,den dassgesamten Zeitraum fürin einesehr kurze ZeitspanneZeitintervalle <math>\Delta t</math>; während jedes Zeitintervalls ändert sich die Geschwindigkeit <math>v</math>nur wenig, so dass die sichFormel aus„Weg der= ZeitGeschwindigkeit × Zeit“ zumindest näherungsweise gilt. Die innerhalb eines kurzen Zeitraums <math>g \cdotDelta t</math> ergibt,zurückgelegte konstantTeilstrecke bleibt.<math>\Delta l</math> beträgt daher

Die: Zunahme<math>\Delta derl Wegstrecke\approx innerhalbg des\cdot kurzen Zeitraums <math>t\,\cdot\Delta t</math> beträgt daher.

: <math>l = \lim_{\Delta t \to 0} \left(\sum \left(g \cdot t \,\cdot \Delta t\right)\right) = \int_0^T \left(g \cdot t\;\mathrm{d}t\,\right).</math>

Das Integral lässt sich analytischz. angebenB. mit dem Hauptsatz der Analysis auswerten:

: <math>l = \frac g 2 \cdot t^2.</math>

Beim Stieltjes-Integral geht man von monotonen Funktionen <math>g(x)</math> aus, oder von solchen mit [[Beschränkte Variation|endlicher Variation]], das sind Differenzen von zwei monotonen Funktionen, und definiert für stetige Funktionen <math>f</math> Riemann-Stieltjes’sche Summen als

:<math>\sum_{i=0}^{n-1}\,f(x_i)\,\{left(g(x_{i+1})-g(x_i)\}right).</math>

Durch Limesbildung in der üblichen Weise erhält man dann das sogenannte ''Riemann-Stieltjes-Integral'' <math>\textstyle \int_I\, f\, \mathrm dg</math>.

Solche Integrale sind auch dann definiert, wenn die Funktion <math>g</math> nicht differenzierbar ist (andernfalls gilt <math>\mathrm dg\equiv(x) = g'(x)\,\mathrm dx</math>). Ein bekanntes Gegenbeispiel ist die sogenannte [[Heaviside-Funktion]] <math>\Theta(x)</math>, deren Wert gleich Nullnull für dienegative negativen ZahlenArgumente, Einseins für positive <math>x</math>Argumente und z.&nbsp;B. <math>=\textstyle \frac{1/}{2}</math> füran dender PunktStelle <math>x=0</math> ist. Man schreibt, für <math>g(x)=\Theta(x),</math>, <math>\mathrm dg(x) = \delta(x)\mathrm dx</math> und erhält so die [[Distribution (Mathematik)|„verallgemeinerte Funktion“]] <math>\delta(x)</math>, das sogenannte [[Diracmaß]], als ein nur für denim Punkt <math>x=0</math> definiertes Maß.

Einen moderneren und –&nbsp;in vielerlei Hinsicht&nbsp;– besseren Integralbegriff als den des Riemann’schen Integrals liefert das Lebesgue-Integral. Es erlaubt zum Beispiel die Integration über allgemeine [[Maßraum|Maßräume]]. Das bedeutet, dass man Mengen ein [[Maß (Mathematik)|Maß]] zuordnen kann, das nicht notwendig mit ihrer geometrischen Länge bzw. ihrem Rauminhalt übereinstimmen muss, so zum Beispiel [[Wahrscheinlichkeitsmaß]]e in der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]]. Das Maß, das dem intuitiven Längen- bzw. Volumenbegriff entspricht, ist das [[Lebesgue-Maß]]. In der Regel wird das Integral über dieses Maß als ''Lebesgue-Integral'' bezeichnet. Man kann beweisen, dass fürFür jede Funktion, die über einem kompakten Intervall Riemann-integrierbar ist, existiert auch das entsprechende Lebesgue-Integral existiert und die Werte beider Integrale übereinstimmenstimmen überein. Umgekehrt sind aber nicht alle Lebesgue-integrierbaren Funktionen auch Riemann-integrierbar. Das bekannteste Beispiel dafür ist die [[Dirichlet-Funktion]], also die Funktion, die für rationale Zahlen den Wert Eins, aber für irrationale Zahlen den Wert Null hat. Neben der größeren Klasse an integrierbaren Funktionen zeichnet sich das Lebesgue-Integral gegenüber dem Riemann-Integral vor allem durch die besseren Konvergenzsätze aus ([[Satz von der monotonen Konvergenz]], [[Satz von der majorisierten Konvergenz]]) und die besseren Eigenschaften der durch das Lebesgue-Integral [[Normierter Raum|normierten]] [[Funktionenraum|Funktionenräume]] (etwa [[Vollständiger Raum|Vollständigkeit]]).

Das Riemann-Integral ist (im eindimensionalen Raum) nur für [[Kompakter Raum|kompakte]], also [[Beschränktheit|beschränkte]] und [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossene]], Intervalle definiert. Eine Verallgemeinerung auf unbeschränkte Definitionsbereiche oder Funktionen mit [[Singularität (Mathematik)|Singularitäten]] bietet das uneigentliche Integral. Auch in der Lebesgue-Theorie können uneigentliche Integrale betrachtet werden, jedoch ist dies nicht so ergiebig, da man mit dem Lebesgue-Integral schon viele Funktionen mit Singularitäten oder unbeschränktem Definitionsbereich integrieren kann.

* Eulersche Integrale [[LeonhardEulersche EulerBetafunktion|Eulerscheerster]] Integrale ''erster'' und ''[[Gammafunktion|zweiter'' Art]]

:<math>\int\limits_a^{a+1}\log\Gamma(t)\,\mathrm dt = \tfrac12\log2\pi + a\log a - a,\quad a\ge0,</math> &nbsp; &nbsp;&nbsp;und speziell für <math>a=0</math> und <math>a = e</math> : <math>\int_0^1\log\Gamma(t)\,\mathrm dt = \tfrac12\log2\pi</math>

AlsoEs folgt: Das Integral der Divergenz über das gesamte Volumen ist gleich dem Integral des Flusses aus der Oberfläche.

Durch diesen Satz wird die Rotation eines Vektorfeldes als sogenannte ''Wirbeldichte'' des Vektorfeldes interpretiert; dabei ist <math>\mathrm d\vec r</math> der dreikomponentige Vektor <math>(\mathrm dx,\mathrm dy,\mathrm dz)</math> und der Rand <math>\partial M</math> von <math>M</math> eine [[Kurve (Mathematik)#Geschlossene Kurven|geschlossene Kurve]] im <math>\R^3</math>.

Die direkte Verallgemeinerung des Lebesgue-Integrals auf [[Banach-Raum|Banachraum-wertige]] Funktionen ist das [[Bochner-Integral]] (nach [[Salomon Bochner]]). Viele Ergebnisse der eindimensionalen Theorie übertragen sich dabei wortwörtlich auf Banachräume.

Auch das [[Birkhoff-Integral]] ist eine gemeinsame Verallgemeinerung des Bochner- und Riemann-Integrals. Im Gegensatz zum McShane-Integral benötigt die Definition des Birkhoff-Integrals jedoch keine topologische Struktur im Definitionsbereich der Funktionen. Sind jedoch die Voraussetzungen für die McShane-Integration erfüllt, so ist jede Birkhoff-integrierbare Funktion auch McShane-integrierbar.<ref>D. Fremlin: {{Webarchiv|url=http://www.essex.ac.uk/maths/people/fremlin/preprints.htm |wayback=20150428205215 |text=''The McShane and Birkhoff integrals of vector-valued functions.'' }}.</ref>