„Distributivgesetz“ – Versionsunterschied
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[[Datei:Illustration of distributive property with rectangles.svg|mini|Visualisierung des Distributivgesetzes für positive Zahlen]]
Die '''Distributivgesetze/Verteilungsgesetze''' (
Insbesondere in der Schulmathematik bezeichnet man die Verwendung des Distributivgesetzes zur Umwandlung einer [[Summe]] in ein [[Produkt (Mathematik)|Produkt]] als
Das Distributivgesetz bildet mit dem [[Assoziativgesetz]] und dem [[Kommutativgesetz]] grundlegende Regeln der [[Algebra]].
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Man unterscheidet zwischen ''linksdistributiven'' und ''rechtsdistributiven'' Verknüpfungen:
: <math>a \cdot \left( b \pm c \right) = a \cdot b \pm a \cdot c</math> (linksdistributiv)
: <math>(a \pm b) \cdot c = a \cdot c \pm b \cdot c</math> (rechtsdistributiv)
In Worten:
Ist die „übergeordnete“ Verknüpfung, in diesem Fall die Multiplikation, [[Kommutativgesetz|kommutativ]], so kann man aus der Linksdistributivität auch die Rechtsdistributivität folgern und umgekehrt.
Ein Beispiel für „nur“ Rechtsdistributivität ist die [[Division (Mathematik)|Division]], die nicht kommutativ ist:
: <math>(a \pm b) : c = a : c \pm b : c\quad (c \neq 0)</math>
Hier gilt in der Regel:
: <math>a : (b \pm c) \neq a : b \pm a : c</math>
In der Schulmathematik werden meistens nur die beidseitigen (kommutativen) Distributivgesetze als solche bezeichnet und das Divisionsgesetz umgangen. Es wird dann nur gerechnet:
:seien <math> a = m \cdot c </math> und <math>b = n \cdot c</math>▼
▲:
Die Distributivgesetze gehören zu den [[Axiom]]en für [[Ring (Algebra)|Ringe]] und [[Körper (Algebra)|Körper]]. Beispiele für Strukturen, in denen zwei Funktionen sich gegenseitig zueinander distributiv verhalten, sind [[Boolesche Algebra|Boolesche Algebren]], wie die Algebra der [[Menge (Mathematik)|Mengen]] oder die [[Schaltalgebra]]. Es gibt aber auch Kombinationen von Verknüpfungen, die sich nicht distributiv zueinander verhalten; zum Beispiel ist die Addition nicht distributiv gegenüber der Multiplikation.
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== Beispiele ==
=== Reelle Zahlen ===
In den folgenden Beispielen wird die Verwendung des Distributivgesetzes auf der Menge der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] <math>\R</math> illustriert. In der Schulmathematik spricht man bei diesen Beispielen meist von ''Ausmultiplizieren''. Aus der Sicht der [[Algebra]] bilden die reellen Zahlen einen [[Körper (Algebra)|Körper]], was die Gültigkeit des Distributivgesetzes sichert.
'''Erstes Beispiel'''
Beim Kopfrechnen wird das Distributivgesetz oftmals unbewusst verwendet:
:
Man will 6 · 16 im Kopf berechnen. Dazu multipliziert man 6 · 10 sowie 6 · 6 und addiert die Zwischenergebnisse. Auch das [[Schriftliches Multiplizieren|schriftliche Multiplizieren]] beruht auf dem Distributivgesetz.
: <math>3 \cdot a^2 \cdot b \cdot (4 \cdot a - 5 \cdot b) = 3 \cdot a^2 \cdot b \cdot 4 \cdot a - 3 \cdot a^2 \cdot b \cdot 5 \cdot b = 12 \cdot a^3 \cdot b - 15 \cdot a^2 \cdot b^2</math>
;Drittes Beispiel (mit zwei Summen)▼
::<math>▼
\begin{align}
(a + b) \cdot (a - b) &
&
\end{align}
</math>
: <math>12 \cdot a^3 \cdot b^2 - 30 \cdot a^4 \cdot b \cdot c + 18 \cdot a^2 \cdot b^3 \cdot c^2</math>
Da in allen [[Summand]]en der [[Faktor (Mathematik)|Faktor]] <math>6 a^2 b</math> vorkommt, kann dieser ausgeklammert werden. Das heißt, aufgrund des Distributivgesetzes gilt :
=== Matrizen ===
Auch für die [[Matrizenmultiplikation]] ist das Distributivgesetz gültig. Genauer gesagt gilt
: <math>(A + B) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C</math>
für alle <math>l \times m</math>-Matrizen <math>A,B</math> und <math>m \times n</math>-Matrizen <math>C</math> sowie
: <math>A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C</math>
für alle <math>l \times m</math>-Matrizen <math>A</math> und <math>m \times n</math>-Matrizen <math>B, C</math>. Da für die Matrizenmultiplikation das [[Kommutativgesetz]] nicht gilt, folgt aus dem ersten Gesetz nicht das zweite. Es handelt sich in diesem Fall also um zwei verschiedene Gesetze.
=== Mengenlehre ===
In der [[Mengenlehre]] gelten für die [[Schnittmenge]], [[Vereinigungsmenge]] und [[Differenzmenge]] folgende [[Mengenlehre#Gesetzmäßigkeiten|Distributivgesetze]]:
: <math>A \cup \left( B \cap C \right) = \left( A \cup B \right) \cap \left( A \cup C \right)</math>
: <math>A \cap \left( B \cup C \right) = \left( A \cap B \right) \cup \left( A \cap C \right)</math>
: <math>(A \cap B) \setminus C = (A \setminus C) \cap (B \setminus C)</math>
: <math>(A \cup B) \setminus C = (A \setminus C) \cup (B \setminus C)</math>
=== Aussagenlogik ===
In der [[Aussagenlogik]] gelten für die [[Konjunktion (Logik)|Konjunktion]] und die [[Disjunktion]] folgende Distributivgesetze:
: <math>A \lor (B \land C) \Leftrightarrow (A \lor B) \land (A \lor C)</math>
: <math>A \land (B \lor C) \Leftrightarrow (A \land B) \lor (A \land C)</math>
== Siehe auch ==
* [[Distributiver Verband]]
* [[Boolesche Algebra]] (klassische
== Weblinks ==▼
{{Wikibooks|Mathematrix: Kompass/ Arbeiten mit Termen/ Distributivgesetz|<math>{\color{BlueViolet}\begin{matrix}{\mathbf{MATHE} \mu \alpha T\mathbb R ix}\end{matrix}}</math> Mathematik für die Schule|Distributivgesetz}}▼
== Literatur ==
* {{EoM
▲== Weblinks ==
▲{{Wikibooks|Mathematrix: Kompass/ Arbeiten mit Termen/ Distributivgesetz|<math>{\color{BlueViolet}\begin{matrix}{\mathbf{MATHE} \mu \alpha T\mathbb R ix}\end{matrix}}</math> Mathematik für die Schule |suffix=Distributivgesetz}}
== Einzelnachweise ==
<references />
[[Kategorie:Algebra]]
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