Desítková soustava

Desítková soustava či dekadická soustava je poziční číselná soustava se základem 10. Pro zápis čísla se používají číslice 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Desítková soustava umožňuje přesný zápis libovolného celého čísla; záporná čísla jsou označena na začátku znakem "−", "minus". S použitím desetinné značky (typicky desetinné čárky nebo desetinné tečky) lze v desítkové soustavě zapsat libovolné reálné číslo s jakoukoli konečnou přesností.

Použití

Tato číselná soustava je dnes nejužívanější jak v občanském životě, tak ve vědě a technice. V dřívějších dobách se používaly i soustavy s jiným základem, např. dvacítková, šedesátková nebo dvanáctková. Se šedesátkovou soustavou, zavedenou Sumery, se nadále setkáváme při měření času a úhlů. Nově však nachází uplatnění některé jiné soustavy, např. dvojková, osmičková, dvanáctková a šestnáctková, které jsou používány ve výpočetní technice a v informatice.

Historie

Desítková soustava se používá odedávna. Už i egyptská matematika byla založena na desítkové soustavě; egyptština měla k dispozici číslovky až do miliónu. Tato soustava je pravděpodobně odvozena od počítání na deseti prstech rukou.

Desítkový zápis čísla a výpočet jeho hodnoty

• Zápis nuly je $0$.
• Každé kladné celé číslo $q$ lze zapsat jako konečnou posloupnost $X$ tvořenou $n_{X}$ číslicemi $x_{1}x_{2}\ldots x_{n_{X}}$, kde $n_{X}\geq 1$ je celé číslo a pro každé celé $i$, kde $1\leq i\leq n_{X}$, je $x_{i}$ jedna z číslic 0 až 9. Pak platí

(1)     $q=X=\sum _{i=1}^{n_{X}}{x_{i}}\cdot 10^{n_{X}-i}$

Číslo zapsané posloupností $X$ má stejnou aritmetickou hodnotu jako číslo zapsané posloupností $0X$, $00X$ apod.. Proto se zpravidla "vedoucí" nuly na začátku čísla nepíšou (tj. $x_{1}\neq 0$, ovšem kromě čísla "nula" samotného, $0$), až na zvláštní případy, kdy je např. přikázán formát zápisu $X$ čísla $q$ s daným počtem $k>1$ číslic.

• Každé kladné necelé číslo $r$ lze zapsat jako posloupnost $XdY$ tvořenou
  • konečnou posloupností $X$ z $n_{X}$ číslic;
  • desetinnou značkou $d$, což je buď čárka (užita na této stránce), nebo tečka. Podrobnosti viz heslo desetinná značka;
  • konečnou nebo nekonečnou posloupností $Y$ z $n_{Y}$ číslic.

Posloupnosti $X=x_{1}x_{2}\dots x_{n_{X}}$, $Y=y_{1}y_{2}\dots y_{n_{Y}}$ jsou tvořeny analogicky, jak je uvedeno výše, a platí

(2)     $\ r=XdY=\sum _{i=1}^{n_{X}}{x_{i}}\cdot 10^{n_{X}-i}+\sum _{j=1}^{n_{Y}}{y_{j}}\cdot 10^{-j}$;

v druhé sumě může být i $n_{Y}=\infty$.

• Posloupnost $X$ je nutno vypsat, i když jde o nulu, např. $a=0,\!25$. (Dříve se příležitostně v anglofonním světě při zápisu s desetinnou tečkou samotná nula před ní vynechávala.)
• Záporné číslo zapisujeme znamínkem "minus", $-$, následovaným bez mezery odpovídajícím číslem kladným.

Příklady: $-100;-0,\!75;-\pi \equiv -3,\!141\,59\dots$ .
Tři tečky "$\dots$" zde znamenají neúplný zápis čísla, v němž nejsou uvedeny další číslice.

Zvláštní případy

• Kladné číslo racionální $r=a/b>0$, kde $a,b$ jsou čísla celá, má
  • buď zápis konečný, tj. v zápisu (2) výše je $m<\infty$, a to právě tehdy, když je $a=2^{e}5^{f}$, kde $e>0,f>0$ jsou čísla celá,
  • anebo nekonečný, ale periodický ve tvaru

$r=XdYZZZZZ\dots \equiv XdY{\overline {Z}}$, kde $X,Y,Z$ jsou konečné posloupnosti $n_{X},n_{Y},n_{Z}$ číslic analogické dřívější $X$ a pruh nad $Z$ značí opakování celé posloupnosti $n_{Z}$ číslic tvořících $Z$. Nazývají se předčíslí (předperioda) $Y$ a občíslí (perioda) $Z$, zatímco $X$ je celá část čísla $r$. Označíme-li $s$ hodnotu čísla $XdY$ a $t$ hodnotu celého čísla $Z$, pak platí
(3)     $r=s+{\frac {t}{10^{n_{Y}}(10^{n_{Z}}-1)}}$.
Příklady:
$55/13=4,\!2307692307692307\dots =4,\!{\overline {230769}}=4+{\frac {230769}{999999}}$ , ale také
$\qquad \qquad \ =4,\!2307{\overline {692307}}=4,\!2307+{\frac {692307}{9999990000}}$ apod.

• Aritmetická hodnota čísla se nezmění připojením libovolného (i nekonečného) počtu nul za konečný zápis typu $r=XdY$, tedy $r=XdY=XdY0=XdY00=\dots =XdY{\overline {0}}$. Rozdíl však je v případě čísel zaokrouhlených, kde je podstatný počet platných číslic.
• Protože $1=0,\!{\overline {9}}$, lze každý zápis s občíslím ${\overline {9}}$ zapsat bez občíslí tak, že zvětšíme o 1 poslední číslici menší než 9, která stojí před posloupností tvořenou jen číslicí 9, a následující číslice 9 nahradíme 0, jde-li o celou část čísla, resp. vynecháme, jde-li o předčíslí. Pokud by zbylo předčíslí prázdné, vynecháme i desetinnou značku $d$.

Příklady:
$12\,399,\!{\overline {9}}=12\,400$
$12\,345,\!6{\overline {9}}=12\,345,\!7$

• Analogická pravidla platí pro čísla záporná. Zpracujeme nejprve absolutní hodnotu čísla, pak připojíme znamínko.

$-12\,345,\!6{\overline {9}}=-12\,345,\!7$

Zápis a hodnota čísel zaokrouhlených

Aritmetická hodnota čísel $a=12,\!3$ a $b=12,\!300$ je stejná, tedy $a=b$. Pokud však jde o numerickou matematiku pracující se zaokrouhlenými čísly a o její aplikace v praxi (např. hodnota změřené fyzikální veličiny), je mezi čísly rozdíl, protože $b$ má 5 platných číslic, zatímco $a$ jen 3. Bezpečnější zápis v takových případech je $a=12,\!30(5)$ a $b=12,\!300\,0(5)$. Celé číslo uvedené za hodnotou v závorce (může mít i více míst) udává nejistotu či chybu čísel $a,b$ a jeho poslední číslice odpovídá poslední číslici předcházejícího čísla. Hodnotou čísla $b$ může tedy být libovolné z čísel ležících v intervalu $12,\!299\,5$ až $12,\!300\,5$. Podobně např. hodnotou čísla $c=1,\!234\,567(12)$ může být libovolné z čísel ležících v intervalu $1,\!234\,555$ až $1,\!234\,579$. Podrobnosti viz platné číslice.

Názvy velkých čísel

Související informace naleznete také v článcích Velká čísla a Krátká a dlouhá škála.

Názvy velkých čísel v češtině jsou postaveny na Pelletierově systému, který se používá ve velké části Evropy, ne však v USA.

Tzv. krátká soustava (z francouzského échelle courte), též American system, označuje slovem bilion číslo, které se rovná tisíci milionům (10⁹) a další pojmenování následují vždy po tisícinásobku. Tedy trilion je tisíc bilionů (10¹²), kvadrilion je tisíc trilionů (10¹⁵) atd. Tato soustava nezná slovo miliarda. Krátká soustava je užívána ve Spojených státech a zhruba od sedmdesátých let 20. století také ve většině anglicky mluvících zemí (Velká Británie, Austrálie, Kanada s výjimkou frankofonních částí, Irsko atd.)

• V kontinentální Evropě, a tedy i v České republice je zpravidla užívána tzv. dlouhá soustava (échelle longue), v níž pro tisíc milionů (10⁹) je užíván termín miliarda, bilion má význam milionu milionů (10¹²) a trilion je milion bilionů (10¹⁸). Pro tisíc bilionů (10¹⁵) je někdy užíváno slovo biliarda.

Kombinaci obou systémů užívají země bývalého Sovětského svazu a Turecko. Zde existuje termín miliarda ve smyslu dlouhé soustavy (10⁹), ale pojmenování vyšších čísel se řídí soustavou krátkou.

Ve vědě a technice jsou používány předpony dle soustavy SI (kilo, Mega atd.) označující násobky základních jednotek fyzikálních a technických veličin. Předpony dle soustavy SI jsou používány jednotně v celém světě a nedochází u nich k omylům.

Princip, jakým jsou tvořena jména velkých čísel, udává následující tabulka (americké názvy pro N=10⁹ až 10⁶³, 10³⁰³, britský 10⁶⁰⁰ podle):

Hodnota	Název v krátké soustavě	Název v dlouhé soustavě	Předpona
10−24	septiliontina	kvadriliontina	yokto
10−21	sextiliontina	triliardtina	zepto
10−18	kvintiliontina	triliontina	atto
10−15	kvadriliontina	biliardtina	femto
10−12	triliontina	biliontina	piko
10−9	biliontina	miliardtina	nano
10−6	miliontina	miliontina	mikro
10−3	tisícina	tisícina	mili
10−2	setina	setina	centi
10−1	desetina	desetina	deci
100	jednotka	jednotka	-
101	deset	deset	deka
102	sto	sto	hekto
103	tisíc	tisíc	kilo
106	milion	milion	mega
109	billion	miliarda	giga
1012	trillion	bilion	tera
1015	quadrillion	biliarda	peta
1018	quintillion	trilion	exa
1021	sextillion	triliarda	zetta
1024	septillion	kvadrilion	yotta
1027	octillion	kvadriliarda	-
1030	nonillion	kvintilion	-
1033	decillion	kvintiliarda	-
1036	undecillion	sextilion	-
1039	duodecillion	sextiliarda	-
1042	tredecillion	septilion	-
1045	quattuordecillion	septiliarda	-
1048	quindecillion	oktilion	-
1051	sexdecillion	oktiliarda	-
1054	septendecillion	nonilion	-
1057	octodecillion	noniliarda	-
1060	novemdecillion	decilion	-
1063	vigintillion	deciliarda	-
1066	unvigintilion	undecilion	-
1069	duovigintilion	undeciliarda	-
1072	trevigintillion	duodecilion	-
1075	quattuorvigintillion	duodeciliarda	-
1078	kvinvigintilion	tredecilion	-
1081	sesvigintilion	tredeciliarda	-
1084	septemvigintilion	kvadrodecilion	-
1087	oktovigintilion	kvadrodeciliarda	-
1090	novemvigintilion	kvindecilion	-
1093	trigintilion	kvindeciliarda	-
1096	untrigintilion	sexdecilion	-
1099	duotrigintilion	sexdeciliarda	-
10100	googol	googol
10303	centillion	kvingintiliarda
10600	novenonagintacentilion	centilion

Srovnání číselných soustav

Číselná soustava (základ)
10	2	3	4	5	6	7	8	9	12	16	20	36
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	10	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
3	11	10	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3
4	100	11	10	4	4	4	4	4	4	4	4	4
5	101	12	11	10	5	5	5	5	5	5	5	5
6	110	20	12	11	10	6	6	6	6	6	6	6
7	111	21	13	12	11	10	7	7	7	7	7	7
8	1000	22	20	13	12	11	10	8	8	8	8	8
9	1001	100	21	14	13	12	11	10	9	9	9	9
10	1010	101	22	20	14	13	12	11	A	A	A	A
100	1100100	10201	1210	400	244	202	144	121	84	64	50	2S
1000	1111101000	1101001	33220	13000	4344	2626	1750	1331	6B4	3E8	2A0	RS

Odkazy

Související články

• Předpona soustavy SI
• Krátká a dlouhá škála
• Velká čísla

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu desítková soustava na Wikimedia Commons
• Výukový kurs Číselné soustavy/Desítková soustava ve Wikiverzitě

Autoritní data	GND: 4149429-5 NLI: 987007283946805171

Portály: Matematika