Kongruence

Kongruence je algebraický pojem označující ekvivalenci na algebře, která je slučitelná se všemi operacemi na této algebře (tedy například, pokud jsou tři páry prvků ekvivalentní a výsledky nějaké operace na těchto párech jsou také ekvivalentní, pak existuje pro tyto páry kongruence).

Formální definice

Předpokládejme, že $(X,O_{1},O_{2},\ldots ,O_{n})\,\!$ je algebraická struktura s množinou prvků $X\,\!$ a operacemi $O_{1},O_{2},\ldots ,O_{n}\,\!$ , operace $O_{i}\,\!$ je $m_{i}\,\!$ -ární.

Binární relaci $R\,\!$ na X nazveme kongruence, pokud je to ekvivalence a pokud pro každou z vyjmenovaných operací a každé prvky $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m_{i}},b_{1},b_{2},\ldots ,b_{m_{i}}\in X$ platí

a_{1}\sim _{R}b_{1},a_{2}\sim _{R}b_{2},\ldots ,a_{m_{i}}\sim _{R}b_{m_{i}}\implies O_{i}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m_{i}})\sim _{R}O_{i}(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{m_{i}})\,\!

Příklad

Chceme ověřit, zda na grupě celých čísel je relace " ${\textstyle \scriptstyle x-y}$ je násobkem deseti" kongruencí. Grupu je možné chápat jako strukturu s jednou operací nebo se třemi. Obě konvence jsou ekvivalentní, použijme tedy tu první: jedinou operací je sčítání (proto $\scriptstyle n=1$ ). $\scriptstyle O_{1}(a,b)$ je jen jiný zápis pro a+b. Tato operace je binární (potřebuje dva "vstupy", takže $\scriptstyle m_{i}=2$ ).

Zvolíme-li a₁ = 3, a₂ = 5, b₁ = 13, b₂ = 45, pak podle definice kongruence musí platit 3+5 ~ 13 + 45, což platí (8 a 58 se liší o násobek deseti).

Tím jsme ověřili jen konkrétní příklad; důkaz platný pro všechny hodnoty $a_{i}$ a $b_{i}$ lze provést takto: Pro obě i platí $\scriptstyle a_{i}\sim _{R}b_{i}\,\!$ , čili existují celá čísla $\scriptstyle k_{1},k_{2}\,\!$ tak, že $\scriptstyle b_{i}=a_{i}+10.k_{i}$ . Potom platí: $\scriptstyle O_{1}(a_{1},a_{2})-O_{1}(b_{1},b_{2})=a_{1}+a_{2}-(a_{1}+10.k_{1})-(a_{2}+10.k_{2})=-10.(k_{1}+k_{2})$ , což je násobek deseti, takže $\scriptstyle O_{1}(a_{1},a_{2})\sim _{R}O_{1}(b_{1},b_{2})$

Kongruence zbytkových tříd

Nejznámějším příkladem kongruence je rozklad množiny všech celých čísel na zbytkové třídy po dělení číslem $n\geq 2\,\!$ , tj. relace, která je zavedena vztahem:

a\equiv b{\pmod {n}}\Leftrightarrow n\mid (a-b)\,\!

Jinými slovy: dvě čísla jsou ekvivalentní (modulo n), pokud mají stejný zbytek po dělení číslem $n\,\!$ . Pokud je z kontextu jasné, pro které $n\,\!$ je kongruence zapsána (nebo na $n\,\!$ nezáleží, protože zápis je platný pro jeho libovolnou hodnotu), vynechává se konec zápisu a píše se jednoduše $a\equiv b\,\!$ . Celý zápis se čte „a je kongruentní s b modulo n“.

Vlastnosti kongruence modulo n

$a\equiv b\land c\equiv d\implies a+c\equiv b+d\,\!$ , jinými slovy: relace $\equiv \,\!$ je kongruence vzhledem ke sčítání
$a\equiv b\land c\equiv d\implies a-c\equiv b-d\,\!$ , jinými slovy: relace $\equiv \,\!$ je kongruence vzhledem k odčítání
$a\equiv b\land c\equiv d\implies a*c\equiv b*d\,\!$ , jinými slovy: relace $\equiv \,\!$ je kongruence vzhledem k násobení

Je-li navíc $n\,\!$ prvočíslo, pak navíc podle Malé Fermatovy věty:

$a^{n}\equiv a{\pmod {n}}\,\!$

Význam kongruence modulo n

Vlastnosti kongruence modulo n umožňují počítat pouze se zbytkovými třídami a výsledek pak zobecnit na všechna čísla - v takovýchto výpočtech zastupuje například číslo 3 v modulu 5 všechna čísla s ním kongruentní - 8,13,18,…, ale také -2,-7,… Kongruenci lze při výpočtech týkajících se dělitelnosti do jisté míry používat podobně jako rovnost při úpravách algebraických výrazů nebo při řešení rovnice.

Faktoralgebra

Je-li R kongruence, pak faktormnožině $X/R$ může být dána přirozená struktura takto (výsledek nezávisí na volbě reprezentantů):

{\hat {O_{i}}}([x_{1}]_{R},[x_{2}]_{R},\ldots ,[x_{m_{i}}]_{R})=[O_{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m_{i}})]_{R}

Faktormnožina s těmito operacemi se nazývá faktoralgebra a její operace se obvykle značí stejně, jako operace původní algebry (v tomto případě tedy $O_{i}\,\!$ ; v článku je však použito označení ${\hat {O_{i}}}$ pro zdůraznění, že se nejedná o tutéž operaci).

Toto je nejběžnější způsob, jak formálně definovat okruh modulo n.

Příklad faktoralgebry

Na okruhu celých čísel uvažujme kongruenci "x-y je sudé číslo". Faktormnožina bude mít dva prvky: množina sudých celých čísel a množina lichých celých čísel . Na této faktormnožině lze přirozeně zavést operaci $\scriptstyle {\hat {+}}$ , která se však obvykle značí $\scriptstyle +$ , pokud nehrozí nedorozumění. Chceme zjistit např. výsledek operace "lichá čísla $\scriptstyle {\hat {+}}$ sudá čísla". Zvolíme tedy nějaké celé číslo $\scriptstyle [x_{1}]$ tak, aby $\scriptstyle [x_{1}]_{R}$ byla množina lichých čísel, tzv. reprezentanta množiny lichých čísel. Zvolme například $\scriptstyle x_{1}=11,x_{2}=8$ . Pak výše uvedený vzorec říká: $\scriptstyle [x_{1}]_{R}{\hat {+}}[x_{2}]_{R}=[x_{1}+x_{2}]_{R}$

Dosazením do pravé strany dostaneme: $\scriptstyle [x_{1}]_{R}{\hat {+}}[x_{2}]_{R}=[x_{1}+x_{2}]_{R}=[11+8]_{R}=[19]_{R}$

Takže výsledek operace "lichá čísla $\scriptstyle {\hat {+}}$ sudá čísla" je množina lichých čísel.

Kdybychom vybrali jiné reprezentanty, např. $\scriptstyle x_{1}=41,x_{2}=42$ , dospěli bychom k výsledku $\scriptstyle [83]_{R}$ , což je množina totožná s množinou $\scriptstyle [19]_{R}$ . To je ilustrací (nikoli však důkazem), že výsledek je nezávislý na volbě reprezentantů. Kdyby nezávislý nebyl, pak by definice byla nekorektní.

Vztah kongruence a homomorfismů

Binární relace na A je kongruencí právě tehdy, pokud je jádrem nějakého homomorfismu z A do nějaké struktury B.

Pro každý homomorfismus f z A do B platí, že jádro homomorfismu Ker f je kongruence na A. (Pojem jádro homomorfismu je někdy chápán jako podstruktura A, ale zde se držíme obecnější definice, že jde o relaci na A.) Proto každý homomorfismus definuje faktoralgebru. Podle první věty o izomorfismu je tato faktoralgebra izomorfní s oborem hodnot f.

Platí i opačný vztah: Každá kongruence R je jádrem nějakého homomorfismu. Příkladem takového homomorfismu je zobrazení $f(x):A\to A/R,f(x)=[x]_{R}$ . V příkladě níže toto zobrazení jakémukoli lichému číslu (např. 3) přiřadí množinu všech lichých čísel a sudému číslu množinu všech sudých čísel. Nejedná se o izomorfismus, neboť zobrazení není prosté .

Příklad: Zobrazení $f:Z\to Z,f(n)=(-1)^{n}$ přiřadí každému sudému číslu hodnotu 1 a lichému číslu -1. Jádrem tohoto zobrazení je právě výše zmíněná relace "x-y je sudé číslo". Faktoralgebra i obor hodnot jsou dvouprvkové množiny. Izomorfismus mezi nimi přiřadí množině všech sudých čísel hodnotu 1 a množině všech lichých čísel -1. Tento izomorfismus není totožný se zobrazením f, neboť jeho argumentem jsou množiny čísel, zatímco argumentem f jsou čísla.

Související články