Hypergeometrické rozdělení

Hypergeometrické rozdělení je jedním z rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny. Popisuje pravděpodobnost $p(x)$ , že při výběru $n$ prvků z množiny o velikosti $N$ , v níž má $A$ prvků požadovanou vlastnost, bude mít právě $x$ prvků tuto vlastnost.

Definice

Náhodná veličina $X$ má hypergeometrické rozdělení s parametry $N$ , $A$ a $n$ , jestliže její pravděpodobnostní funkce je dána:

\operatorname {P} (X=x)={\begin{cases}{{{A \choose x}{{N-A} \choose {n-x}}} \over {N \choose n}}&{\text{pro }}x\in \langle {\text{max}}(0,A-N+n),...,{\text{min}}(A,n)\rangle \\0&{\text{jinak.}}\end{cases}}

Pro přirozená čísla $N$ , $A$ a $n$ platí $1\leq n\leq N$ a $1\leq A\leq N$ . Parametr $N$ označuje celý soubor jednotek, z nichž $A$ jednotek má sledovanou vlastnost. Z tohoto souboru vybíráme $n$ jednotek bez vracení. Náhodná veličina $X$ označující počet vybraných jednotek vykazujících sledovanou vlastnost se řídí hypergeometrickým rozdělením.

Charakteristiky

Pro výpočet střední hodnoty platí:

\operatorname {E} (X)={\frac {n\cdot A}{N}}

,

pro výpočet rozptylu platí:

\operatorname {var} (X)=n{\frac {A}{N}}\left(1-{\frac {A}{N}}\right)\left({\frac {N-n}{N-1}}\right)

,

pro výpočet koeficientu šikmosti platí:

\alpha _{3}={\frac {(N-2A)(N-1)^{\frac {1}{2}}(N-2n)}{[nA(N-A)(N-n)]^{\frac {1}{2}}(N-2)}}

a pro výpočet koeficientu špičatosti platí:

\alpha _{4}=\left.{\frac {1}{nA(N-A)(N-n)(N-2)(N-3)}}\cdot \right.{\Big [}(N-1)N^{2}{\Big (}N(N+1)-6A(N-A)-6n(N-n){\Big )}+6nA(N-A)(N-n)(5N-6){\Big ]}

.

Příklad

Spočítejme pravděpodobnost s jakou bude student u zkoušky umět právě jednu ze tří náhodně vybraných otázek, pokud se naučil pouze pět otázek z dvaceti.
Celý soubor obsahuje 20 jednotek, z toho sledovanou vlastnost má 5 jednotek. Ze souboru vybíráme 3 jednotky bez vracení. Hledáme pravděpodobnost, s jakou je náhodná veličina $X$ rovna 1. Tedy:

\operatorname {P} (X=1)={{{5 \choose 1}{{20-5} \choose {3-1}}} \over {20 \choose 3}}={{5\cdot 105} \over 1140}=0,\!46

Související články

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu hypergeometrické rozdělení na Wikimedia Commons

Literatura

JARUŠKOVÁ, Daniela. Pravděpodobnost a matematická statistika. Vyd. 2. Praha: Česká technika - nakladatelství ČVUT, 2006, 138 s. ISBN 80-010-3427-5.