Gaussova věta

Gaussova-Ostrogradského věta (Věta o divergenci)^[1] je věta diferenciální geometrie, která popisuje vztah mezi plošným integrálem druhého druhu vektorového pole v prostoru přes orientovanou plochu a objemovým integrálem divergence vektorového pole přes regulární oblast. Tato věta je speciálním případem tzv. zobecněné Stokesovy věty. Autorem Gaussovy-Ostrogradského věty je Johann Gauss a dokázal ji Michail Vasiljevič Ostrogradskij.

Znění věty

Oblast

V

ohraničená plochou

S

kladně orientovanou normálami

n

.

Je-li $\mathbf {F} (x,y,z)=[F_{x}(x,y,z),F_{y}(x,y,z),F_{z}(x,y,z)]$ vektorové pole se spojitými parciálními derivacemi prvního řádu na omezené regulární oblasti $V$ ohraničené uzavřenou jednoduše souvislou po částech hladkou kladně orientovanou plochou $S$ , pak platí:

\iint _{S}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \ \mathrm {d} S=\iiint _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\ \mathrm {d} V=\iiint _{V}\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}\right)\ \mathrm {d} x\ \mathrm {d} y\ \mathrm {d} z

,

kde $\nabla \cdot \mathbf {F}$ je divergence vektorového pole $\mathbf {F}$ .

Z fyzikálního hlediska vyjadřuje Gaussova věta skutečnost, že tok vektorového pole $\mathbf {F}$ uzavřenou plochou je roven objemovému integrálu z divergence pole $\mathbf {F}$ , neboli velikosti součtu zřídel a propadů pole v oblasti plochou uzavřenou.

Reference

↑ KATZ, Victor J. The history of Stokes's theorem. Mathematics Magazine. 1979, s. 146–156. DOI 10.2307/2690275.

Související články

Fubiniova věta

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu Gaussova věta na Wikimedia Commons

[1] KATZ, Victor J. The history of Stokes's theorem. Mathematics Magazine. 1979, s. 146–156. DOI 10.2307/2690275.

[1]