Lemniscata polinòmica

En matemàtiques, una lemniscata polinòmica o corba de nivell polinòmica és una corba algebraica plana del grau 2n, construïda a partir d'un polinomi p amb coeficients complexos de grau n.

$|z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1|=1$

Per a qualsevol tal polinomi p i nombre real positiu c, es pot definir un conjunt de nombres complexos amb $|p(z)|=c.$ Aquest conjunt de nombres es poden equiparar a punts en el pla cartesià, que porten a una corba algebraica ƒ(x,y) = c² de grau 2n, que resulta de desenvolupar $p(z){\bar {p}}({\bar {z}})$ en termes de z = x  + iy.

Quan p és un polinomi del grau 1 llavors la corba que resulta és simplement una circumferència el centre de la qual és el zero de p. Quan p és un polinomi del grau 2 llavors la corba és un Oval de Cassini.

Lemniscata d'Erdős

Erdős lemniscate of degree ten and genus six

Lemniscata Erds del grau deu i gènere sis

Una conjectura d'Erdős que ha atret interès considerable fa referència a la màxima llargada d'una lemniscata polinòmica ƒ(x,y) = 1 de grau 2n quan p és monic, que Erdős conjecturava que s'assolia quan p(z) = zⁿ − 1. En el cas quan n = 2, la lemniscata Erdős és la lemniscata de Bernoulli

$(x^{2}+y^{2})^{2}=2(x^{2}-y^{2})\,$

i s'ha demostrat que aquesta és en efecte la llargada màxima en grau quatre. La lemniscata Erdős té tres punts de n-pleg ordinaris, un dels quals és a l'origen, i un gènere de (n − 1)(n − 2)/2. Invertint la lemniscata Erdős respecte de la circumferència unitat, s'obté una corba no singular de grau n.

Lemniscata polinòmica genèrica

En general, una lemniscata polinòmica no tocarà a l'origen, i tindrà només dues singularitats ordinàries n-pleg, i per això un gènere (n − 1)². Com a corba real, pot tenir un cert nombre de components desconnectats. Per això, no s'assemblarà a una lemniscata, fent que el nom no sigui gaire escaient.

Corba de Mandelbrot M₂ de grau vuit i gènere nou

Lemniscates de Mandelbrot 1–6 per a Er = 2

Un exemple interessant de tals lemniscates polinòmiques són les corbes de Mandelbrot. Si es fixa p₀ = z, i p_n = p_{n −1}² + z, llavors les lemniscates polinòmiques corresponents M_n definides per|p_n(z)| = Er convergeixen la frontera del conjunt de Mandelbrot. Si Er < 2 queden dins, si Er ≥ 2 a fora del conjunt de Mandelbrot.

Referències

• Alexandre Eremenko and Walter Hayman, On the length of lemniscates, Michigan Math. J., (1999), 46, núm. 2, 409–415 «Enllaç».

• O. S. Kusnetzova and V. G. Tkachev, Length functions of lemniscates, Manuscripta Math., (2003), 112, 519–538 «Enllaç».

• "Cassinian curve" a Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables