Incentre

Incentre i exincentres

L'incentre d'un triangle és el punt on es tallen les bisectrius dels seus angles. Els punts de tall de les bisectrius exteriors amb les interiors s'anomenen exincentres o excentres del triangle. L'incentre sempre és interior al triangle i els exincentres li són exteriors.

Incentre $I$ i exincentres $I_{A}$, $I_{B}$ i $I_{C}$, d'un triangle $\triangle ABC$

Existència i posició

Incentre

Sigui el triangle $\triangle ABC$ i considerem les bisectrius dels angles ${\widehat {A}}=2\alpha$ i ${\widehat {B}}=2\beta$.

• Vegem primer que aquestes bisectrius es tallen: com que ${\widehat {A}}+{\widehat {B}}+{\widehat {C}}=180^{\circ }$, tenim que ${\widehat {A}}+{\widehat {B}}=2\alpha +2\beta <180^{\circ }$ i, per tant, $\alpha +\beta <90^{\circ }<180^{\circ }$. Ara, el cinquè postulat d'Euclides demana que les bisectrius es tallin en un punt $I$, situat en el semiplà definit pel costat $AB$ que conté els angles $\alpha$ i $\beta$, és a dir, el semiplà que conté el triangle $\triangle ABC$. De la mateixa manera, les bisectrius dels angles ${\widehat {A}}=2\alpha$ i ${\widehat {C}}=2\gamma$ es tallen en un punt del semiplà definit pel costat $AC$ que conté el triangle $\triangle ABC$ i les bisectrius dels angles ${\widehat {B}}=2\beta$ i ${\widehat {C}}=2\gamma$ es tallen en un punt del semiplà definit pel costat $BC$ que conté el triangle $\triangle ABC$.
• Ara trobem on es tallen: l'angle ${\widehat {A}}$, que conté la seva bisectriu, és la intersecció de dos semiplans: el determinat per la recta $AB$ que conté el vèrtex $C$ i el determinat per la recta $AC$ que conté el vèrtex $B$. Igualment, l'angle ${\widehat {B}}$, que conté la seva bisectriu, és la intersecció de dos semiplans: el determinat per la recta $AB$ que conté el vèrtex $C$ i el determinat per la recta $BC$ que conté el vèrtex $A$. En conseqüència, el punt $I$ d'intersecció de les bisectrius és a la intersecció d'aquests dos semiplans i de semiplà del paràgraf anterior, és a dir, a l'interior del triangle $\triangle ABC$. De la mateixa manera, qualsevol altra parella de bisectrius també es tallen en un punt interior del triangle $\triangle ABC$.
• Finalment, el punt $I$, com que pertany a la bisectriu de l'angle ${\widehat {A}}$, equidista dels seus costats $AB$ i $AC$ i, com que pertany a la bisectriu de l'angle ${\widehat {B}}$, equidista dels seus costats $BA$ i $BC$. En conseqüència, el punt $I$ equidista dels costats $CA$ i $CB$ de l'angle ${\widehat {C}}$ i, per tant, pertany a la bisectriu de l'angle ${\widehat {C}}$. Les tres bisectrius del triangle es tallen, doncs, en el punt $I$, que és l'incentre del triangle $\triangle ABC$.

Exincentres

Ara considerem les bisectrius exteriors dels angles ${\widehat {A}}$ i ${\widehat {B}}$, és a dir, les bisectrius dels angles $2\delta$ i $2\varepsilon$ i la bisectriu interior de l'angle ${\widehat {C}}=2\gamma$.

• Com que $2\delta +2\epsilon =180^{\circ }-{\widehat {A}}+180^{\circ }-{\widehat {B}}=360^{\circ }-2(\alpha +\beta )$, tenim que $\delta +\epsilon =180^{\circ }-(\alpha +\beta )<180^{\circ }$ i, novament segons el cinquè postulat d'Euclides, les bisectrius dels angles $2\delta$ i $2\varepsilon$ es tallen en un punt $I_{C}$ del semiplà determinat pel costat $AB$ que no conté el triangle $\triangle ABC$. Igualment, qualsevol altra parella de bisectrius exteriors es tallen en un punt exterior al triangle $\triangle ABC$.
• L'angle $2\delta$ determinat pel costat $AB$ i la prolongació del costat $AC$ és la intersecció del semiplà definit per la recta $AB$ que no conté el triangle i el semiplà definit per la recta $AC$ que sí conté el triangle. En particular, la bisectriu d'aquest angle és a aquest darrer semiplà. De la mateixa manera, la bisectriu de l'angle $2\varepsilon$ determinat pel costat $AB$ i la prolongació del costat $BC$ és al semiplà definit per la recta $BC$ que sí conté el triangle. Per tant, el punt $I_{C}$ d'intersecció de les dues bisectrius és a la intersecció dels dos semiplans, és a dir, a l'interior de l'angle ${\widehat {C}}$.
• També, ${\widehat {B}}+{\widehat {C}}=2\beta +2\gamma <180^{\circ }$, o sigui que $\beta +\gamma <90^{\circ }$ i, com que, $\beta +\varepsilon =90^{\circ }$, resulta $2\beta +\gamma +\varepsilon ={\widehat {B}}+\gamma +\varepsilon <180^{\circ }$ i, altra vegada, del cinquè postulat d'Euclides, deduïm que les bisecrius dels angles ${\widehat {C}}=2\gamma$ i $2\varepsilon$ es tallen en un punt del semiplà determinat pel costat $AB$ que no conté el triangle $\triangle ABC$ i a l'interior de l'angle ${\widehat {C}}$. Interseccions similars existeixen per a cada parella de bisectriu exterior i de bisectriu interior de vèrtexs diferents del triangle.
• Però el punt $I_{C}$ equidista de la recta $AC$ i de la recta $AB$, perquè pertany a la bisectriu de l'angle $2\delta$. També equidista de la recta $BC$ i de la recta $AB$, perquè pertany a la bisectriu de l'angle $2\varepsilon$. En conseqüència, equidista de les rectes $AC$ i $BC$, com que jau a l'interior de l'angle ${\widehat {C}}$, és de la bisectriu d'aquest angle ${\widehat {C}}$. Les dues bisectrius exteriors corresponents als vèrtexs $A$ i $B$ i la bisectriu interior de l'angle ${\widehat {C}}$ es tallen en el punt $I_{C}$, a l'exterior del triangle $\triangle ABC$, però a l'interior de l'angle ${\widehat {C}}$. Aquest punt és un exincentre del triangle i, de la mateixa manera, en resulta l'existència i posició dels altres dos exincentres, $I_{A}$ i $I_{B}$.

Les bisectrius interiors d'un triangle com a línies cevianes.

Les bisectrius com a cevianes

Les bisectrius d'un triangle són línies cevianes. Segons el teorema de la bisectriu hi ha proporcionalitat entre els costats d'un angle d'un triangle i els dos segments en què la bisectriu d'aquest angle divideix el costat oposat. Aleshores,

${\dfrac {PB}{PC}}={\dfrac {AB}{AC}},\qquad {\dfrac {QC}{QA}}={\dfrac {BC}{BA}},\qquad {\dfrac {RA}{RB}}={\dfrac {CA}{CB}}$

Aleshores,

${\dfrac {PB}{PC}}\,{\dfrac {QC}{QA}}\,{\dfrac {RA}{RB}}={\dfrac {AB}{AC}}\,{\dfrac {BC}{BA}}\,{\dfrac {CA}{CB}}=1$

i, segons el teorema de Ceva, les tres bisectrius es tallen en un punt: l'incentre del triangle. Un ús similar dels teoremes de la bisectriu i de Ceva amb les bisectrius exteriors i interiors mostra l'existència dels exincentres.

Coordenades de l'incentre

Les coordenades cartesianes de l'incentre són una mitjana ponderada de les coordenades dels tres vèrtexs. Si els tres vèrtexs són $A=(x_{a},y_{a})$, $B=(x_{b},y_{b})$, i $C=(x_{c},y_{c})$, els vectors posició respectius són ${\vec {A}}={x_{a} \choose y_{a}}$, ${\vec {B}}={x_{b} \choose y_{b}}$ i ${\vec {C}}={x_{c} \choose y_{c}}$, i els costats oposats del triangle tenen com a longituds $a$, $b$, i $c$, llavors el vector posició de l'incentre és

${\vec {I}}={\dfrac {a}{a+b+c}}\,{\vec {A}}+{\dfrac {b}{a+b+c}}\,{\vec {B}}+{\dfrac {c}{a+b+c}}\,{\vec {C}}$

i l'incentre $I$ és a

$I=\left({\dfrac {ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c}},{\frac {ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c}}\right)$

En efecte,

• Pel teorema de la bisectriu, aplicat a les bisectrius dels angles ${\widehat {A}}$ i ${\widehat {B}}$,

${\dfrac {c}{b}}={\dfrac {BP}{PC}}={\dfrac {BP}{BC-BP}}={\dfrac {BP}{a-BP}},\qquad {\dfrac {c}{a}}={\dfrac {AQ}{QC}}={\dfrac {AQ}{AC-AQ}}={\dfrac {AQ}{b-AQ}}$

que dona

$BP={\dfrac {ac}{b+c}},\qquad AQ={\dfrac {bc}{a+c}}$

• Pels vectors ${\overrightarrow {BP}}$ i ${\overrightarrow {AQ}}$ tenim:

${\overrightarrow {BP}}={\dfrac {BP}{BC}}\,{\overrightarrow {BC}}={\dfrac {BP}{a}}\,{\overrightarrow {BC}}={\dfrac {c}{b+c}}\,{\overrightarrow {BC}},\qquad {\overrightarrow {AQ}}={\dfrac {AQ}{AC}}\,{\overrightarrow {AC}}={\dfrac {AQ}{b}}\,{\overrightarrow {AC}}={\dfrac {c}{a+c}}\,{\overrightarrow {AC}}$

• Pels vectors ${\overrightarrow {AI}}$ i ${\overrightarrow {BI}}$ hi ha nombres reals $\lambda$ i $\mu$ amb ${\overrightarrow {AI}}=\lambda {\overrightarrow {AP}}$ i ${\overrightarrow {BI}}=\mu {\overrightarrow {BQ}}$. Aleshores, tot expressant el vector ${\overrightarrow {AI}}$ d'aquestes dues maneres, ${\overrightarrow {AI}}=\lambda {\overrightarrow {AP}}$ i ${\overrightarrow {AI}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BI}}$, tenim:

$\left\{{\begin{array}{lcl}{\overrightarrow {AI}}&=&\lambda {\overrightarrow {AP}}=\lambda \left({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BP}}\right)=\lambda \left({\overrightarrow {AB}}+{\dfrac {c}{b+c}}\,{\overrightarrow {BC}}\right)=\lambda {\overrightarrow {AB}}+{\dfrac {\lambda c}{b+c}}\,{\overrightarrow {BC}}\\{\overrightarrow {AI}}&=&{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BI}}={\overrightarrow {AB}}+\mu {\overrightarrow {BQ}}={\overrightarrow {AB}}+\mu \left({\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {AQ}}\right)={\overrightarrow {AB}}+\mu \left({\overrightarrow {BA}}+{\dfrac {c}{a+c}}\,{\overrightarrow {AC}}\right)=\\&=&{\overrightarrow {AB}}+\mu \left({\overrightarrow {BA}}+{\dfrac {c}{a+c}}\,\left({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}\right)\right)=\left(1-\mu +{\dfrac {\mu c}{a+c}}\right){\overrightarrow {AB}}+{\dfrac {\mu c}{a+c}}\,{\overrightarrow {BC}}\end{array}}\right.$

• Ara, la independència lineal dels vectors ${\overrightarrow {AB}}$ i ${\overrightarrow {BC}}$ demana que

$\left\{{\begin{array}{rcl}\lambda &=&1-\mu +{\dfrac {\mu c}{a+c}}\\{\dfrac {\lambda c}{b+c}}&=&{\dfrac {\mu c}{a+c}}\end{array}}\right.$

• El sistema anterior, que és un sistema lineal, té les solucions

$\lambda ={\dfrac {b+c}{a+b+c}}\qquad \mu ={\dfrac {a+c}{a+b+c}}$

• Finalment,

${\begin{array}{rcl}{\overrightarrow {I}}&=&{\overrightarrow {A}}+{\overrightarrow {AI}}={\overrightarrow {A}}+\lambda {\overrightarrow {AB}}+{\dfrac {\lambda c}{b+c}}\,{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {A}}+\lambda \left({\overrightarrow {B}}-{\overrightarrow {A}}\right)+{\dfrac {\lambda c}{b+c}}\,\left({\overrightarrow {C}}-{\overrightarrow {B}}\right)=\\&=&{\overrightarrow {A}}+{\dfrac {b+c}{a+b+c}}\left({\overrightarrow {B}}-{\overrightarrow {A}}\right)+{\dfrac {c}{a+b+c}}\,\left({\overrightarrow {C}}-{\overrightarrow {B}}\right)=\\&=&{\dfrac {a}{a+b+c}}\,{\vec {A}}+{\dfrac {b}{a+b+c}}\,{\vec {B}}+{\dfrac {c}{a+b+c}}\,{\vec {C}}\end{array}}$

Circumferències inscrita i exinscrites a un triangle

Circumferència inscrita ${\mathfrak {I}}$ i circumferències exinscrites ${\mathfrak {E}}_{A}$, ${\mathfrak {E}}_{B}$ i ${\mathfrak {E}}_{C}$ al triangle $\triangle {ABC}$

Com que l'incentre $I$ d'un triangle $\triangle ABC$ equidista dels seus costats $a$, $b$ i $c$, els tres segments perpendiculars a cadascun dels costats tirats des de l'incentre són iguals i són radis d'una circumferència ${\mathfrak {I}}$ amb centre a l'incentre $I$ i tangent a cadascun dels costats del triangle en els peus d'aquestes perpendiculars. Aquesta circumferència és la circumferència inscrita al triangle (també: cercle inscrit o incircle).

El mateix s'esdevé amb els exincentres, que són els respectius centres de tres circumferències tangents a un costat i les prolongacions dels altres dos, a l'exterior del triangle. Aquestes circumferències són les circumferències exinscrites al triangle (també: cercles exinscrits, exincercles o excercles).

Vegeu també

• Circumferència inscrita
• Teorema de la bisectriu
• Teorema de Ceva

Bibliografia

1. Coxeter, Harold Scott MacDonald; Greitzer, Samuel L. Geometry Revisited (en anglès). Washington D. C. (USA): Mathematical Association of America, 1972. ISBN ISBN-0-88385-619-0. 
2. Puig Adam, Pedro. Curso de Geometría Métrica (en castellà). Madrid: Biblioteca Matemática, 1972. 

Enllaços externs

• «Incentre». Gran Enciclopèdia Catalana. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.
• Weisstein, Eric W., «Incenter» a MathWorld (en anglès).