Funció contínua

(S'ha redirigit des de: Continuïtat)
«Continuïtat» redirigeix aquí. Vegeu-ne altres significats a «Continuïtat (desambiguació)».

Funció contínua és un terme utilitzat en matemàtiques i, en particular, en topologia.

Definició matemàtica per funcions de variables reals

modifica

Funció contínua en un punt

modifica

Siguin   un interval de  ,   una aplicació de   a  , i   un punt de  .

  1. Si   i   és un punt d'acumulació de  , direm que   és contínua en el punt   si  .
  2. Si   i   no és un punt d'acumulació de  , direm que   és contínua per definició.

La definició anterior també es pot formular en termes de distàncies, diem que   és contínua en el punt   del seu domini si i només si:

 

És a dir, una funció és contínua quan per qualsevol punt   del seu domini podem trobar un interval tal que la seva imatge estigui continguda en un interval tan petit com vulguem al voltant de la seva imatge  .

Finalment, en termes de successions tenim la següent propietat: La funció   és contínua en el punt   si i només si per qualsevol successió    Aquesta propietat s'anomena continuïtat seqüencial de   en el punt  .

Continuïtat per la dreta i per l'esquerra

modifica

Suposem que la funció   està definida en l'interval tancat   i sigui  . Es diu que el nombre   és el límit per la dreta de   en   si   tal que si   compleix que   (és dir,   està a la dreta de  ), aleshores  ; en aquest cas, s'escriu   i s'utilitza la notació  Es diu que   és continua per la dreta en el punt   si   .

De manera anàloga, per a   es defineix el límit per l'esquerra de   en el punt   i s'escriu

 


Es diu que   és continua per l'esquerra en el punt   si  .

Propietat. Sigui  . Aleshores   és contínua en el punt   si i només si  .

Vegeu més avall la secció discontinuïtats de salt per un exemple de funció on el límit per la dreta i per l'esquerra en un punt no coincideixen.

Continuïtat en un interval

modifica

Sigui   un subconjunt del domini d'una funció  . Es diu que   és contínua en   (en llenguatge matemàtic,  ) si és contínua en tots el punts d'aquest interval.

És a dir:

 

que equival a què:

  •   és contínua a   (en llenguatge matemàtic,  ).
  • En els extrems de l'interval es compleix   i  

Evidentment, en la definició el número   depèn de  , ja que si   es fa més petit, pot ser que hàgim de buscar un   més petit. Però en aquest apartat cal aclarir que el número   també depèn del punt  , és a dir, per un mateix valor de  , un valor de   que serveix per algun punt en concret pot no servir per un altre punt. En general, donat un valor de   no existeix un valor de   que serveixi per a tots els punts  , tot i així, quan aquest valor existeix parlem de continuïtat uniforme.

Derivabilitat i continuïtat

modifica

Qualsevol funció derivable en un punt o en un interval, és igualment contínua en aquest punt o interval.

El recíproc és fals.

Per exemple, la funció   (valor absolut de   és una funció contínua a  , en canvi, no és derivable en el punt  .

Funcions usuals

modifica

Les funcions polinòmiques, exponencials, logarítmiques, hiperbòliques, trigonomètriques són derivables en els intervals en què estan definides, i són, doncs, igualment contínues en aquests intervals.

Teoremes sobre funcions contínues

modifica

Teorema dels compactes

modifica

"  contínua en un compacte   és compacte."

Efectivament, per demostrar que   és un compacte necessitem veure que, sigui  , la successió   té alguna successió parcial convergent  .

Com que, per hipòtesi   és un compacte, existeix alguna successió parcial   convergent. Sigui   el límit d'aquesta successió  , per la definició de continuïtat (definició per successions) tenim que  . Però per la definició que hem fet al principi,   resultant així que   (que és una successió parcial de  ) és convergent. I   és un compacte.

Teorema del màxim i el mínim

modifica

"  contínua en un compacte   té màxim i mínim."

Efectivament, pel teorema dels compactes si   és contínua en el compacte  ,   és compacte. Com que qualsevol compacte és fitat, existiran un suprem ( ) i un ínfim ( ). Demostrem ara que  . En efecte, podem trobar valors tan a prop de   com vulguem (si no fos així, podríem trobar una fita superior més petita que  , arribant a una contradicció), per tant podem construir una successió   que convergeixi a  . Com que   és un compacte   és tancat i per tant,  . Sent   el màxim del compacte  . 

De manera anàloga podem trobar valors tan a prop de   com vulguem (o arribem a una contradicció), per tant, podem construir una successió  . I com que   és tancat  , sent el mínim d'aquest compacte.

Teorema de Bolzano

modifica

"  amb   (és a dir, no nuls i de signe oposat)   on  ."

Efectivament, anomenem  , sigui   el punt central d'aquest interval. Si   el teorema queda demostrat. Si  , aleshores partim l'interval   en els intervals   i  . Com que   i   tenen signes oposats,   tindrà el mateix signe que un dels dos i tindrà signe oposat que l'altre. Anomenem   a l'interval en que   tingui signes oposats en els extrems, i definim   com el punt central de  . De nou repetim el mateix procés, si   hem acabat, si no, definim   Si per algun interval   es compleix que   hem acabat, si no tenim definits infinits intervals en els quals   pren valors oposats en els extrems.

Notem que es compleix sempre que   i la longitud de cada interval és:  .

Construïm la successió  . Sigui   un interval de longitud  , aleshores és clar que   ja que  . Per tant,  tal que   i, en conseqüència  . Per tant, la successió   és una successió de Cauchy i per tant és convergent. Denotem  . Suposem que  , aleshores per continuïtat podem trobar un interval   que compleixi que   en tot l'interval. Però a partir d'algun subíndex   i existeix algun punt de   en que   (recordem que   pren valors de signe oposat en els seus extrems). Igualment, si   per continuïtat podem trobar un interval   que compleixi que  . Però a partir d'algun subíndex   i existeix algun punt de   en que  . Per tant l'única possibilitat és que  . Quedant així demostrat el teorema.

Teorema del valor intermedi de Bolzano

modifica

" , amb  , i   està entre   i   on  ."

Efectivament si   està entre   i  , aleshores   i   tenen signes oposats. Definim aleshores la funció  , com que   és contínua en l'interval  ,   és contínua en el mateix interval. Hem dit que   i   tenen signes oposats, per tant, pel teorema de Bolzano, existeix un punt   que compleix que  .

Teorema de la continuïtat de la funció inversa

modifica

"  contínua i invertible en un interval   és estrictament creixent o decreixent a   i   és contínua a  ."

Efectivament, si   és invertible   ha de ser injectiva. Per tant, si per a dos punts    Suposem que  , aleshores,  , ja que, si  , pel teorema del valor intermedi de Bolzano, existeix algun punt entre   que compleix que  , però això no pot ser perquè   és injectiva. Pel mateix argument no es pot donar el cas que  , ja que existiria algun punt   que compleix que  . Per tant tenim que   està entre   i  .

Considerem ara un punt  , és a dir,  , pel mateix argument que a dalt podem afirmar que   (i, per tant,  ). Per tant, podem afirmar que si  , és a dir,   és estrictament decreixent, si en comptes de suposar al principi que   suposem que   arribem a la conclusió (després de aplicar exactament el mateix raonament) que   és estrictament creixent. Demostrem ara que   és contínua a l'interval  .

Sigui  , hem de demostrar que  .

Notem que, en ser   contínua i estrictament creixent (decreixent) es compleix que    . És a dir, que un punt pertany a l'interval   si i només si la seva imatge pertany a l'interval d'extrems   i  .

Per tant, per a qualsevol   podem trobar un   tal que  

Si  , aleshores  

Quedant demostrat que la funció   és contínua.

Tipus de discontinuïtats de funcions d'una variable real

modifica

Discontinuïtat asimptòtica

modifica

En contextos informals, com ara els estudis de batxillerat, es diu que una funció   de domini   presenta una discontinuïtat asimptòtica en un punt d'acumulació   quan un o tots dos límits laterals de la funció en aquest punt són de tipus infinit. Es pot donar un dels quatre casos diferents:

(1)   (2)   (3)   i   (4)   i  

La recta x=a s'anomena asímptota vertical.

És molt important esmentar que, formalment i matemàtica, no té sentit parlar d'una discontinuïtat en un punt que no pertany al domini de la funció. El concepte de discontinuïtat asimptòtica neix del tractament poc rigorós que es fa del concepte de continuïtat a partir de límits, per no haver d'abordar la definició formal vista anteriorment.

Exemple:

 
Discontinuïtat asimptòtica

Discontinuïtat de salt

modifica

Una funció   de domini   presenta una discontinuïtat de salt en un punt   quan els límits laterals en aquest punt no són iguals:

 

Exemple:

 
Discontinuïtat de salt

Discontinuïtat evitable

modifica

Una funció   de domini   presenta una discontinuïtat evitable en un punt   quan la funció té límit en aquest punt però no coincideix amb el valor de la funció:  

Per tant, la funció f es podria fer contínua només redefinint  .


En contextos informals, com ara els estudis de batxillerat, es parla també de discontinuïtats evitables en punts   quan  . Altra vegada és molt important esmentar que, formalment i matemàtica, no té sentit parlar d'una discontinuïtat en un punt que no pertany al domini de la funció.

Exemple en un context informal (punt fora del domini):

 
Discontinuïtat evitable

Àlgebra de les funcions contínues i composició de funcions contínues

modifica

Per definició:

  contínua a  .

Dels teoremes sobre els límits resulta:

Àlgebra de les funcions contínues

modifica

Siguin   i   dues funcions contínues en un mateix interval  . Llavors:

  •   (combinació lineal)
  •   (producte)
  •   (quocient)

són funcions contínues a  .

Composició de funcions contínues

modifica

Si   és contínua a   i   és contínua a   llavors   és contínua a  .

Funcions contínues entre espais topològics

modifica

La definició esmentada de funció contínua es pot expressar de forma més general a les funcions entre dos espais topològics; donada una funció   entre dos espais topològics, aquesta és contínua si i només si per a tot obert   es dona que   és un obert de  .

Vegeu també

modifica