Imaginarna jedinica

Imaginarna jedinica' se označava sa i. Ona dozvoljava da se sistem realnih brojeva proširi na sistem kompleksnih brojeva, Precizna definicija je zavisna od određenog metoda proširenja.

Osnovna motivacija za ovo proširenje je činjenica da postoje polinomijalne jednačine sa realnim koeficijentima koje nemaju rješenja sa realnim brojevima. Konkretnije, jednačina nema realnih rješenja. Ako bismo dozvolili kompleksne brojeve kao rješenja, onda bi svaka polinomijalna jednačina nenultog stepena imala rešenje.

Imaginarna jedinica se ponekad naziva i „kvadratni korjen od minus jedan“, ali pogledajte ispod teškoće koje može prouzrokovati naivno iskorišćavanje ove ideje.

Definicija

Po definiciji, imaginarna jedinica $i$ je jedno od rješenja (drugo rješenje je $-i$ ) kvadratne jednačine

$x^{2}+1=0$

ili, ekvivalentno

$x^{2}=-1$

Pošto nema realnih brojeva kojima se dobija negativan broj kada se kvadriraju, mi imaginarno zamišljamo takav broj i dodeljujemo mu simbol $i$. Važno je shvatiti da je $i$ validna matematička konstrukcija, isto kao i realni brojevi, iako to nije odmah intuitivno jasno i iako mu samo ime ne sugeriše to.

Operacije nad realnim brojevima se mogu proširiti na imaginarne i kompleksne brojeve smatrajući $i$ nepoznatom u radu sa izrazom, a onda koristeći definiciju da se zamijeni svako pojavljivanje $i^{2}$ sa $-1$. Stepeni broja veći od dva se takođe zamjenjuju sa $-i$, $1,$ $i$ ili $-1$

$i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i\,$

$i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1\,$

$i^{5}=i^{4}i=(1)i=i.\,$

i i −i

Pošto je jednačina koja definiše imaginarnu jedinicu $x^{2}+1=0$ jednačina drugog reda bez realnih rješenja, ona mora da ima dva rješenja koja su oba ispravna i koja su suprotnih znakova i recipročna su. Preciznije, kada smo fiksirali jedno rješenje jednačine , vrijednosti $i$ i $-i$(koja nije jednaka $i$) je takođe rješenje. Pošto je ova jednačina jedina definicija broja , djeluje da ova definicija nije dobro definisana jer su $i$ i $-i$ dobri kandidati za vrednost imaginarne jedinice pošto među njima nema kvalitativnih razlika (što se ne može reći za $-1$ i $+1$). Ipak, ukoliko usvojimo jedno od ovih rešenja za „pozitivno ", ovakvih problema nema. Čak i kada bi se u svim matematičkim knjigama zamijenili svako pojavljivanje + sa − (a time i svako pojavljivanje − sa −(−) = +), sve teoreme bi važile i dalje. Dakle, razlika između dva korijena jednačine , od kojih je jedan „pozitivan“, a drugi „negativan“ je čisto notaciona zaostavština; nijedan od njih nije fundamentalno važniji od drugog.

Sličan problem se javlja i kada kompleksne brojeve predstavljamo kao 2 × 2 realne matrice, jer su onda i

$X={\begin{pmatrix}0&-1\\1&\;\;0\end{pmatrix}}$

kao i

$X={\begin{pmatrix}0&1\\-1&\;\;0\end{pmatrix}}$

rješenja matrične jednačine

$X^{2}=-I.\$

U ovom slučaju, neslaganje nastaje od geometrijskog izbora na koju stranu oko jediničnog kruga je „pozitivna“ rotacija. Preciznije objašnjenje je da automorfna grupa specijalne ortogonalne grupe SO (2, R) ima tačno 2 elementa – identitet i automorfizam koji dijele smjer „u smjeru kretanja kazaljke na satu“ i smjer „suprotno od smjera kretanja kazaljke na satu“. Vidjeti ortogonalne grupe.

Sva ova neslaganja se mogu riješiti usvajanjem rigoroznije definicije kompleksnih brojeva kroz polje kompleksnih brojeva i eksplicitnije odabiranje jednog od rješenja gore pomenute jednačine da bude imaginarna jedinica.

Primjer je uređen par (0, 1), u uobičajenoj predstavi kompleksnih brojeva, kao dvodimenzionalni vektor.

Pravilna upotreba

maginarna jedinica se ponekad piše kao ${\sqrt {-1}}$ u naprednijim matematičkim kontekstima. Ipak, dosta se pažnje treba posvetiti kada se radi sa formulama koje uključuju i N-te korijene. Ovakva notacija je rezervisana ili za glavnu funkciju kvadratnog korijena, koja je definisana samo za realne brojeve x ≥ 0, ili za generalni kvadratni korijen nad kompleksnim brojevima. Ako se pokuša primjena pravila koja važe za kvadratni korijen nad realnim brojevima da bi se manipulisalo formulama u kojima se radi sa kvadratnim korijenima nad kompleksnim brojevima, dobiće se pogrešni rezultati:

$-1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1$    (netačno).

Ako se pokuša ponovo ova računica, ali ako vodimo računa da korijen može biti i pozitivan i negativan, dobićemo dvosmislen rezulta

$-1=i\cdot i=\pm {\sqrt {-1}}\cdot \pm {\sqrt {-1}}=\pm {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}=\pm {\sqrt {1}}=\pm 1$   (dvosmisleno).

Pravilo u računanju

${\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}}$

važi samo za realne, nenegativne vrijednosti $a$ i $b$.

Da bi se izbjegle ovakve greške kada se radi sa kompleksnim brojevima, pravilo je da se nikad ne koristi negativni broj pod korjenom. Na primjer, umjesto da se piše izraz ${\sqrt {-7}}$, može se napisati $i{\sqrt {7}}$ umjesto njega. Ovo je upotreba za koju je imaginarna jedinica i smišljena.

Kvadratni korijen imaginarne jedinice

Pri prvom susretanju sa imaginarnom jedinicom, desi se da se pomisli da još jedan skup imaginarnih brojeva mora biti izmišljen da bi se izračunao kvadratni korjen od $i$. Ipak, ovo nije potrebno jer se on može izraziti kao bilo koji od sljedeća dva kompleksna broja.

$\pm {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).$

Lako se pokazuje da su ovo korijeni imaginarne jedinice, kvadriranje desne strane daje:

$\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\$	$=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\$
	$={\frac {1}{2}}(1+i)(1+i)\$
	$={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad \quad (i^{2}=-1)\$
	$={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\$
	$={\frac {1}{2}}(2i)\$
	$=i.\$

Recipročna vrijednost broja $i$

Recipročna vrijednost imaginarne jedinice se lako nalazi:

${\frac {1}{i}}\;=\;{\frac {1}{i}}\cdot {\frac {i}{i}}\;=\;{\frac {i}{i^{2}}}\;=\;{\frac {i}{-1}}\;=\;-i$.

Stepeni broja $i$

$\ldots$

$i^{-3}=i\,$

$i^{-2}=-1\,$

$i^{-1}=-i\,$

$i^{0}=1\,$

$i^{1}=i\,$

$i^{2}=-1\,$

$i^{3}=-i\,$

$i^{4}=1\,$

$\ldots$

$i^{4n}=1\,$

$i^{4n+1}=i\,$

$i^{4n+2}=-1\,$

$i^{4n+3}=-i.\,$

$i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}\,$

Eulerova formula

Eulerova formula glasi

$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,$ ,

za x realan broj. Ova formula se može analitički proširiti za kompleksne vrijednosti broja x.

Zamjenom $x=\pi$ imamo

$e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )=-1+i0\,$

$e^{i\pi }+1=0.\,$ Ojlerov identitet

Ova jednačina spaja 5 najznačajnijih matematičkih veličina (0, 1, π, e, i i) osnovnim operacijama sabiranja, množenja i stepenovanja.

Primjer

Zamjenom $x=\pi /2-2N\pi ,$ za -{N}- cio broj imamo

$e^{i(\pi /2-2N\pi )}=i.\,$

stepenovanjem $i$,

$e^{ii(\pi /2-2N\pi )}=i^{i}\,$

ili

$e^{-(\pi /2-2N\pi )}=i^{i}\,$,

$i^{i}\,$ ima beskonačno mnogo elemenata oblika

$i^{i}=e^{-\pi /2+2\pi N}\,$

gdje je N bilo koji cio broj. Ova vrijednost, iako realna, nije jedinstveno određena. Razlog je što je funkcija kompleksnog logaritma funkcija sa više rješenja.

Uzimajući N = 0 pruža nam glavnu vrijednost

$i^{i}=e^{-\pi /2}=.207879576....\,$

Operacije sa brojem $i$

$\!\ x^{ni}=\cos(\ln(x^{n}))+i\sin(\ln(x^{n})).$

$\!\ {\sqrt[{ni}]{x}}=\cos(\ln({\sqrt[{n}]{x}}))-i\sin(\ln({\sqrt[{n}]{x}})).$

$\log _{i}(x)={{2\ln(x)} \over i\pi }.$

$\cos(i)=\cosh(1)={{e+1/e} \over 2}={{e^{2}+1} \over 2e}=1.54308064.$

$\sin(i)=\sinh(1)\,i={{e-1/e} \over 2}\,i={{e^{2}-1} \over 2e}\,i=1.17520119\,i.$