Koördinatestelsel
In wiskunde en toepassing is 'n koördinatestelsel, of koördinaatstelsel, 'n stelsel om 'n tupel van getalle aan elk van die punte in 'n n-dimensionele ruimte toe te ken. "Getalle" beteken in baie gevalle reële getalle, maar kan ook, afhangende van die konteks, komplekse getalle of elemente van een of ander ander veld beteken. Indien die ruimte of variëteit gekrom is, mag dit nie moontlik wees om 'n konsekwente koördinatestelsel vir die hele ruimte verskaf. In die geval word 'n versameling van koördinatestelsels, wat kaarte genoem word, gebruik om 'n atlas saam te stel wat die hele ruimte dek.
As die ruimte een of ander addisionele algebraïese struktuur het, sal die koördinate ook onder ringe of groepe transformeer; 'n besonder beroemde voorbeeld in die geval is die Lie groepe.
Alhoewel enige spesifieke koördinatestelsel nuttig is vir numeriese berekeninge in 'n gegewe ruimte, word die ruimte beskou as iets wat onafhanklik van enige besonder koördinaat keuse bestaan. Volgens konvensie is die oorsprong van die koördinatestelsel in Cartesiese koördinate die punt (0, 0, …, 0), wat aan enige punt in die Euklidiese ruimte toegeken kan word.
In sommige koördinatestelsel word sommige punte geassosieer met veelvuldige koördinaat tupels, b.v. die oorsprong in die poolkoördinatestelsel: r = 0 maar θ kan enige hoek wees.
Voorbeelde
[wysig | wysig bron]'n Voorbeeld van 'n koördinatestelsel is om 'n punt P in die Euklidiese ruimte Rn te beskryf met 'n n-tupel
- P = (r1, …, rn)
van reële getalle
- r1, …, rn.
Hierdie getalle r1, …, rn word diekoördinate van die punt P genoem.
As 'n deelversameling S van 'n Euklidiese ruimte word kontinu afgebeeld op 'n ander topologiese ruimte, dit definieer koördinate in die afbeelding van S. Dit kan 'n parametrisering van die afbeelding genoem word aangesien dit getalle toeken aan die punte. Die ooreenkoms is uniek slegs as die afbeelding bijektief is.
Die stelsel waarvolgens lengte – en breedtegraad aan geografiese liggings toegeken word is 'n koördinatestelsel. In die geval is die parametrisering nie uniek by die Noord- en Suidpole.
Transformasies
[wysig | wysig bron]'n Koördinaattransformasie is 'n omskakeling van een stelsel na 'n ander, om die selfde stelsel te beskryf.
Twee koördinaattransformasies kan met elke bijeksie van die ruimte na ditself geassosieer word:
- sodat die nuwe koördinate van die afbeelding van elke punt dieselfde is as die ou koördinate van die oorspronklike punt (die formules vir die afbeelding is die omgekeerde van die van die koördinaattransformasie)
- sodat die ou koördinate van die afbeelding van elke punt dieselfde is as die nuwe koördinate van die oorspronklike punt (die formules vir die afbeelding is die as die van die koördinaattransformasie)
Byvoorbeeld, in 1D, as die afbeelding 'n translasie van 3 na regs is, skuif die eerste die oorsprong van 0 na 3, sodat die koördinaat van elke punt 3 minder word, terwyl die tweede die oorsprong van 0 na -3 skuif, sodat die koördinaat van elke punt 3 meer word.
Stelsels wat algemeen gebruik word
[wysig | wysig bron]Van die koördinatestelsels sluit in:
- Die Cartesiese koördinatestelsel (wat ook die "reghoekige koördinatestelsel" genoem word), wat, vir driedimensionele plat ruimte, gebruik drie getalle wat afstande voorstel.
- Curvilinear koördinate is 'n veralgemening van koördinatestelsels in die algemeen; die stelsel is gegrond op die interseksie van krommes.
- Die Poolkoördinatestelsels:
- Sirkulêre koördinatestelsel (algemeen bekend as die Poolkoördinatestelsel) stel 'n punt in 'n vlak voor deur 'n hoek en 'n afstand van die oorsprong.
- Silindriese koördinatestelsel stel 'n punt in ruimte voor deur 'n hoek, 'n afstand van die oorsprong-as en 'n hoogte.
- Sferiese koördinatestelsel stel 'n punt in ruimte voor met twee hoeke en 'n afstand van die oorsprong.
- Geografiese koördinatestelsel
- Plücker koördinate is 'n metode om lyne in 3D Euklidiese ruimte voor te stel deur ses-tupel van getalle te gebruik as homogene koördinate.
- Veralgemeende koördinate word in die Lagrangiese behandeling van meganika gebruik.
- Kanoniese koördinate word in die Hamiltoniese behandeling van meganika gebruik.
- Intrinsieke koördinate beskryf 'n punt op 'n kromme met die lengte van die kromme tot by die punt en die hoek van die raaklyn aan die punt vorm die x-as.
- Parallelle koördinate visualiseer 'n punt in n-dimensionele ruimte as 'n polielyn wat punte op n vertikale lyne verbind.
Sterrekundige stelsels
[wysig | wysig bron]- Celestial koördinatestelsel
- Horisontale koördinatestelsel
- Ekwatoriale koördinatestelsel – gegrond op die Aarde se rotasie
- Meridianale koördinatestelsel
- Virginale koördinatestelsel
- Ekliptiese koördinatestelsel – gegrond op Sonnestelsel rotasie
- Galactic koördinatestelsel – gegrond op Melkweg rotasie
- ekstragalactic koördinatestelsels
- supergalactic koördinatestelsel – gegrond op 'n vlak van plaaslike supercluster van sterrestelsels
- comoving koördinate – geldig tot by die deeltjie horison
Minder algemene koördinatestelsels
[wysig | wysig bron]Die onderstaande koördinatestelsels het spesiale gebruike. Hulle het almal eienskappe van ortogonale koördinatestelsels, dit is die koördinaatoppervlak ontmoet teen regte hoeke.
- Ellipties silindriese koördinate
- Ellipsoïede koördinate
- Prolate sferoïediese koördinate
- Oblate sferoïediese koördinate
- Koniese koördinate
- Paraboliese silindriese koördinate
- Paraboliese koördinate (driedimensioneel)
- Paraboloïdale koördinate
- Bipolêre silindriese koördinate
- Toroïdale koördinate
- Bisferiese koördinate
- Bihoekige koördinate
